myblog

ماتریس
نویسنده : sajjad anis hoseyni - ساعت ٢:۳٦ ‎ب.ظ روز دوشنبه ۳۱ امرداد ،۱۳٩٠
 

ماتریس (ریاضی)

برای دیگر کاربردها، ماتریس (ابهام‌زدایی) را ببینید.

ماتریس به یک آرایش منظم از اعداد گفته می‌شود. به طوری که می‌توان گفت که هر ستون یا هر سطر یک ماتریس، یک بردار را تشکیل می‌دهد. در جبر خطی، می‌توان اثبات کرد که هر نگاشت خطیِ، از فضای به فضای ، هم ارز (isomorph) با یک ماتریس (m سطر و n ستون) می باشد. ماتریس‌ها کاربردهای فراوانی در جبر خطی دارند. از جمله در انتقال‌های خطی و در حل دستگاه معادلات خطی. ماتریس‌ها می‌توانند که با همدیگر جمع، از هم تفریق، در هم ضرب یا ... (با قوانین خودشان) بشوند.

اگر دترمینان یک ماتریس مربعی نا صفر باشد، آنگاه آن ماتریس را ماتریس معکوس‌پذیر نامند.


ماتریس (ریاضی)

برای دیگر کاربردها، ماتریس (ابهام‌زدایی) را ببینید.

 

نمایش یک ماتریس با m سطر و n ستون

ماتریس به یک آرایش منظم از اعداد گفته می‌شود. به طوری که می‌توان گفت که هر ستون یا هر سطر یک ماتریس، یک بردار را تشکیل می‌دهد. در جبر خطی، می‌توان اثبات کرد که هر نگاشت خطیِ، از فضای به فضای ، هم ارز (isomorph) با یک ماتریس (m سطر و n ستون) می باشد. ماتریس‌ها کاربردهای فراوانی در جبر خطی دارند. از جمله در انتقال‌های خطی و در حل دستگاه معادلات خطی. ماتریس‌ها می‌توانند که با همدیگر جمع، از هم تفریق، در هم ضرب یا ... (با قوانین خودشان) بشوند.

اگر دترمینان یک ماتریس مربعی نا صفر باشد، آنگاه آن ماتریس را ماتریس معکوس‌پذیر نامند.

درایه‌ها

به هر یک از عناصر موجود در یک ماتریس درایه می‌گویند. برای مشخص کردن هر درایه باید نام ردیف و ستون را در پایین نام ماتریس نوشت. برای مثال اگر نام ماتریسی i باشد درایه‌ای که در ردیف اول و ستون دوم قرار دارد به این صورت نشان داده می‌شود : i1,2

 

 

 

 

 

 

دترمینان ماتریس

 


دترمینان

به هر ماتریس مربع از مرتبه مانند می‌توان عددی را نسبت داد.این عدد را با نماد یا نمایش می‌دهیم و آن را دترمینان می‌خوانیم.
اگر :

 


آنگاه:

 

 


خواص دترمینان

اگر ستون‌های ماتریس را با نشان دهیم آنگاه و خواهیم داشت :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

تعریف

اگر یک ماتریس مربع از مرتبه باشد آنگاه ماتریس حاصل از حذف سطر ام و ستون ام که یک ماتریس از مرتبه در است را با نماد نمایش می‌دهیم.در اینصورت:

 

 


قضیه1

اگر دو ماتریس باشند آنگاه:

  1. اگر وارون پذیر باشد آنگاه

قضیه2

اگریک ستون از ماتریس مربع از مرتبه مضربی از ستون دیگر آن باشد آنگاه
اثبات:

 


بنابراین:

 


لذا:

 

---

قضیه3


اثبات:
به استقرا روی عمل می‌کنیم:

 


فرض استقرا:

 


حکم استقرا:

 


اما:

 

 

 

عنوان : تعریف ماتریس

تعریف: ماتریس‌های 2×2 را می توانیم به عنوان تبدیلات هندسی در صفحه در نظر بگیریم زیرا هر نقطه در صفحه را به نقطه‌ی دیگری در صفحه تبدیل می‌کنند. مثلاً اگر نقطه‌ای از صفحه و یک ماتریس تبدیل باشد، تبدیل یافته نقطه M توسط ماتریس A، نقطه‌ای مانند است، طوری که یا به عبارتی:

 

در تقارن نسبت به خط y=-x هر نقطه (x,y) به نقطه (y,-x-) تبدیل می‌شود. بنابراین ماتریس تبدیل تقارن نسبت به خط y=-x برابر است با ،زیرا:

 

نکته:

یعضی از تبدیلات سهم در صفحه عبارتند از:

1- ماتریس تبدیل تقارن نسبت به محور xها:

2- ماتریس تبدیل تقارن نسبت به محور yها:

3- ماتریس تبدیل تقارن نسبت به مبدأ مختصات:

4- ماتریس تبدیل تقارن نسبت به خط y=x:

5- ماتریس تبدیل تصویر قائم روی محور xها:

6- ماتریس تبدیل تصویر قائم روی محور yها:

7- ماتریس دوران حول مبدأ به اندازه درجه دایره مثلثاتی برابر است با:

 

نکته:

در تبدیل‌های متوالی ماتریس تبدیل نهایی برابر حاصل ضرب ماتریس‌های تبدیل از انتها به ابتدا می‌باشد.

یعنی اگر نقطه M ابتدا توسط ماتریس تبدیل شود و نقطه توسط ماتریس تبدیل شود و ... نقطه حاصل توسط ماتریس تبدیل می‌شود ماتریس تبدیل نهایی یا A عبارت است از: می‌باشد.

نکته:

نتیجه دو دوران متوالی حول مبدأ به اندازه‌ی درجه برابر است با یک دوران حول مبدأ به اندازه‌ی درجه.

انواع ماتریسها


ماتریس مربعی

ماتریسی است که تعداد سطرها و ستونهای آن با هم برابر باشد.

ماتریس سطری

ماتریسی است که یک سطر دارد. مثلا

 

ماتریس ستونی

ماتریسی است که یک ستون دارد. مثلا

 

ماتریس

ماتریسی است که فقط یک عضو دارد. مثلا

 

ماتریس صفر

تمام عضوهای آن ماتریس برابر صفر می‌باشد. این ماتریس در جمع ماتریسها حکم عدد صفر را در جمع اعداد حقیقی دارد یعنی عضو خنثی است.

 

ماتریس واحد یا یکه

ماتریسی است مربعی که عضوهای قطر اصلی آن همگی برابر با یک و بقیه عضوهای آن برابر صفر می‌باشد. این ماتریس را با I نشان می‌دهند. مثلا

 

!ماتریس قرینه
اگر ماتریسی را در عدد 1- ضرب کنیم قرینه آن ماتریس بدست می‌آید. بعبارت دیگر قرینه یک ماتریس ، ماتریسی است که عضوهای آن قرینه عضوهای ماتریس اصلی باشند.

ماتریس قطری

ماتریسی است مربعی که قطر اصلی آن اعداد حقیقی بوده و سایر عضوهای آن برابر صفر باشد. مثلا

 

ماتریس عددی یا اسکالر

ماتریسی است قطری که عضوهای قطر اصلی آن برابر باشند. مثلا

 

ماتریس منفرد

ماتریسی است مربعی که دترمینان آن برابر صفر باشد. یعنی

ماتریس غیرمنفرد یا وارون‌پذیر

اگر در یک ماتریس مربعی دترمینان آن صفر نباشد به آن ماتریس غیرمنفرد می‌گویند. یعنی

ماتریس معکوس یا ماتریس وارون

ماتریس مربعی A را در نظر می‌گیریم اگر ماتریسی مانند B پیدا شود بطوریکه داشته باشیم AB=BA=I به ماتریس B وارون یا معکوس ماتریس A می‌گویند معمولا ماتریس معکوس A را بصورت نشان می‌دهند و در نتیجه داریم:

 

ماتریس همسازه

اگر در یک ماتریس مربعی به جای هر عضو ، کوفاکتور آن را قرار دهیم ماتریسی بدست می‌آید که به آن همسازه می‌گویند. ماتریس همسازه A را با N نمایش می‌دهند.



برای هر در ماتریس ، همسازه برابر است با عدد
کوفاکتور عضو
بطوریکه ، را دترمینان ماتریس حاصل از حذف سطر i ام و ستون j ام ماتریس A می‌توان تعریف کرد.

ماتریس وابسته یا الحاقی

به ترانسپوزه ماتریس همسازه A ماتریس وابسته A می‌گویند و آن را با نشان می‌دهند.

ماتریس متقارن

اگر ترانسپوزه یک ماتریس با آن ماتریس برابر باشد آن ماتریس را متقارن می‌نامند بعبارت دیگر ماتریس A متقارن است در صورتیکه باشد. اگر در ماتریس جای سطرها و ستونها را عوض کنیم و ماتریس تغییر نکند به آن متقارن می‌گویند.

ماتریس ضدمتقارن یا آنتی‌متقارن

هرگاه قرینه ترانسپوزه ماتریس A برابر A شود، به آن ماتریس ضدمتقارن می‌گویند و داریم

ماتریس پایین مثلثی

اگر در یک ماتریس مربعی تمام عضوهای بالای قطر اصلی صفر باشند به آن ماتریس پایین مثلثی می‌گویند یعنی

ماتریس بالا مثلثی

اگر در یک ماتریس مربعی تمام عضوهای پایین قطر اصلی صفر باشند به آن ماتریس بالا مثلثی می‌گویند. یعنی

ماتریس متعامد

اگر در ماتریس مربعی A داشته باشیم به ماتریس متعامد می‌گویند

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ماتریس


ماتریس ها معادل آرایه های دو بعدی هستند.


تعاریف ماتریس

ماتریس ها معادل آرایه های دو بعدی هستند. A‌ یک ماتریس m×n است شامل m×n عدد قرار گرفته در m سطر و n‌ ستون به شکل:

A11 A12 … A1n
A21 A22 … A2n
………………
Am1 Am2 … Amn

یک ماتریس با تعداد سطر و ستون برابر را ماتریس مربعی (square matrix) می نامند.

قطر اصلی یک ماتریس مربعی شامل عناصر A11,A22,…,Ann است. یعنی اگر i=j باشد Aij روی قطر اصلی است.

یک ماتریس پائین مثلثی (lower triangle matrix) ماتریس مربعی است که عناصر بالای قطراصلی آن همگی صفر باشند. یعنی اگر i<j باشد Aij=0 است

در ماتریس بالا مثلثی (upper triangle matrix) کلیه عناصر زیر قطراصلی صفر هستند. یعنی اگر i>j باشد Aij=0 است

یک ماتریس قطری، ماتریس مربعی است که عناصر غیر صفر آن روی قطر اصلی قرار دارند.

ماتریس مربعی A را متقارن می نامند اگر برای همه i و j ها A[j,i] =A[i,j].


عملیات روی ماتریس ها

جمع دو ماتریس

فرض کنید A‌ و B‌ ماتریس‌های هم اندازه M×N باشد. حاصل جمع B+A در ماتریس C به ابعاد M×N ذخیره می شود. الگوریتم جمع این دو ماتریس به صورت زیر است:

for (i := 1 to M)
   for (j:= 1 to N)
     C[i,j] := A[i,j]+B[i,j]
   end for
end for
end

پیچیدگی الگوریتم فوق O(m×n) است. اگر ماتریس‌ها مربعی باشند پیچیدگی الگوریتم O(n2) می‌شود.

ضرب دو ماتریس

فرض کنید A‌ یک ماتریس M‌×P و B‌ یک ماتریس P×N باشد. حاصل ضرب A×B در ماتریس C به ابعاد M×N ذخیره می شود. الگوریتم زیر حاصل ضرب دو ماتریس را محاسبه می کند:

for (i := 1 to M )
   for (j:= 1 to N )
     C[i,j] :=0
     for (k:=1 to P)
       C[i,j] := C[i,j] + A[i,k]*B[k,j]
     end for
   end for
end for
end

پیچیدگی الگوریتم فوق O(m.n.p) است. اگر ماتریس‌ها مربعی باشند پیچیدگی الگوریتم O(n3) می‌شود.


ماتریس خلوت

ماتریس‌ی که عناصر صفر آنها زیاد است و نسبتا تعداد کمی عنصر غیر صفر دارد را ماتریس خلوت یا اسپارس (sparse matrix) می نامند.
ماتریس های قطری و مثلثی نمونه‌هایی از ماتریس‌های خلوت هستند.

روش طبیعی نمایش ماتریس ها در حافظه به صورت یک آرایه‌های دوبعدی برای این گونه ماتریس ها مناسب نیست. برای جلوگیری از اتلاف حافظه می توان تنها عناصر غیر صفر را ذخیره کرد. آرایه حاصل دارای سه ستون است که برای ذخیره مختصات سطر و ستون و مقدارعنصر غیر صفر بکار می روند و تعداد سطرهای آن به تعداد عناصر غیر صفراست. این روش ذخیره ماتریس خلوت را point access method می نامند


نکته. تعداد عناصر غیرصفر ماتریس مثلثی n بعدی برابر است با: 1+2+3+…+n=n(n+1)/2 و تعداد عناصر صفر آن برابر است با: n2 – n(n+1)/2 = n(n-1)/2.

نکته. حاصلضرب دو ماتریس اسپارس دیگر اسپارس نیست.